Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
98 Розділ VII. Біортогональні послідовності Теорема 8. Нехай {#*}, {/*} — біортогональна послідовність, де {/і} — тотальна послідовність, а послідовність чисел {h^ така, що тоді, коли {ос*} є послідовність коефіцієнтів елемента х {тобто ai = fi(x) для г = 1, 2, . ..), то {htv.i} є послідовність коефіцієнтів елемента у. Коли при цих умовах {(Зі) є послідовність коефіцієнтів деякого лінійного функціонала F (тобто $і =F (хї) для г = 1, 2, . . .), то {Аїр/} є послідовність коефіцієнтів деякого лінійного функціонала Ф. Доведення. За умовою система рівнянь /і (a?) =hifi(y), де г = 1, 2, . .. для кожного а; має точно один розв'язок. Позначимо його через у = ?7(#). З рівностей: lim хп = х0 і Km yn = yQy де уп— U(xn), випливає П->ОО П>00 очевидно рівність Уо=и(хо). Отже, на основі теореми 7 (розд. III, § 3), ст. 35, операція U(x) e неперервна. Зокрема, легко бачити, що: U(xt) = hi хі для всіх г == 1, 2, ... (9) Отже, якщо дано такий лінійний функціоналі^, що $t—F(xi) для г = 1, 2, . .., то за формулою (9) маємо F [U (х{)] = Аі F (хі) ~ = АіРї, тобто числа Лірі є коефіцієнтами операції 0 = U(F)9 що й треба було довести. Зауважимо, що при х — ]ітхі вираз U(x) на основі (9) є гра- ницею лінійних комбінацій, утворених з членів послідовності {#/}. Як застосування цього зауваження легко одержуємо таку теорему. Теорема 9. Нехай {#*(?)J — ортогональна, нормована і замкнена в просторі (С) послідовність неперервних функцій. Якщо послідовність множників {Іц) перетворює всяку послідовність {аі} коефіцієнтів обмеженої функції в послідовність коефіцієнтів {кіот} обмеженої функції, то вона перетворює одночасно кожну послідовність {(ЗЛ коефіцієнтів довільної неперервної функції також у послідовність (AfPi) коефіцієнтів якоїсь неперервної функції. Обернена теорема також справедлива. Нарешті, маємо: Теорема 10. Нехай (хі{І)} — ортогональна, нормована і повна ( ( )\ в просторі \L\p~1}), де ?>>!, послідовність обмежених функцій. Якщо послідовність множників {hi} перетворює 'послідовність коефіцієнтів {аі} довільної функції х (t) ^ (І(р)) в послі- |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)