Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 4. Деякі застосування в теорії ортогональних розкладів 97 , ДЄ Хі = •-і; для % = п для тоді для х = {^} маємо /f (о;) = ?.. Нарешті, в просторі (с) базисом є ця сама послідовність з приєднанням до неї елемента х0 = де ?JJ> = 1 для » = 1, 2,... Отже, для елемента х = маємо /0 (а:) = Нт ?f. § 4. Деякі застосування в теорії ортогональних розкладів. Теорема 7. Яш^о послідовності {#*}, {/*} і {г/*}, {ф^} є біор- тогональні, а рівняння fi{x) = у і {у), де і = 1, 2, ..., 5лл коленого яг мають точно один розв'язок у *= ?7(о;), wo гз збіжності 00 00 випливеш збіжність ряду ^htyt для кожної послі- І»=1 1 = 1 довності чисел {А;}. Доведення. Як легко бачити, з рівностей: Km а:п = яг0 і lim уп = у0> П>оо де уп= U(xn), випливає рівність ?/0 = U (х0). Отже, на підставі теореми Ч (розд. III, § 3), ст. 35, операція у =U{x) в лінійна. Тим самим, покладаючи | U \ — М, маємо | U(x)\ < М • | х |, а тому що за означенням Щ#і) = yt для г == 1, 2, .. ., одержуємо U I JZhixn — V / п i для всяких дійсних Л/, звідки випливає безпосередньо твердження нашої теореми. Висновок. Якщо {xi{t)} і {уі(*)} — ортогональні, нормовані послідовності неперервних функцій і для кожної неперервної функції х (t) існує тільки одна неперервна функція у (t) така, що і і / хі (t) х (t) dt =fyi (t) у (t) dt, то з рівномірної збіжності ряду о о 2hi %і (t) випливає рівномірна збіжність ряду ^Іьі у і (t). і=і 1-і Аналогічні висновки одержуємо для інших функціональних просторів \ 1 Див. S, Banach, Sur une propriete caracteristique des fonctions orthogo nales, Comptes Rendus 180, Paris (1925), ст. 1637—1640 і Н. Steinhaus, Sur quelques applications du calcul fonctionnel й la theorie des series orthogonales* Stud. Math. 1 (1929), ст. 191—200. 7 C. Банах. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)