Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
96 Розділ V/I. Віортогональні послідовності Коли дано базис {#,}, то нехай Ег буде множина послідовно^ 00 стей у — {vjf}, для яких ряд J?y)іхі є збіжний. Покладаючи \у\ = і1 п 1=1 , легко довести, що так нормована множина Е1 утворює простір типу (В). Покладемо далі 00 х = U(y) = ]?-ціХі для кожної послідовності у — і=1 Так означена операція U(y) є лінійна, бо | U(y)\ •< \у\, а тому що вона перетворює множину Е± на Е взаємно однозначно, то обернена операція у = U'1 (х) є також лінійна. Нарешті, функціонал: 00 — Y]j, ДЄ X = також лінійний, бо [гцхіі <2-\у\ і \ft{x)\ = \уц У\ \U-i\'\x\. Отже, маємо оо х = для кожного а тому що цей розклад єдиний, то одержуємо рівність (1) (див. ст. 94), тобто послідовність {xt}, {/^ є біортогональна. Зауважимо, що для кожного лінійного функціонала У, означе- 00 ного в просторі Е, ряд 2 І і (х) F(xi) збігається доі^(ж) тому, що І=1 для кожного х?Е маємо рівність: 2fi(x) п+оо Невідомо, чи кошений сепарабельний простір типу (В) має базис. Ця проблема розв'язана тільки в деяких окрзмих просторах. Так, наприклад, у просторі (?(р)), де р > і, базисом є ортогональна система Нааг'а. В презторі (С) базис побудував Ю. Ша- удер1. В просторі (Z<p>), де р > 1, базис утворює послідовність 1 1. с, Math. Zeitschr. 26 (1927), ст. 48—49. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)