Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 3. Базиси в просторах типу (В) 95 для кожного х ? (L^) збіжний в середньому з р-тим степенем, то він є також збіжний в середньому з —*~ -им степенем для кожної функції х Тут можна припустити, наприклад, що xt, де = 1, 2, ..., є обмежені функції. Розглянемо тепер випадок, коли при умові (6), {&<(?)} є послідовність інтегровних функцій, a {yi(t)} e послідовність обмежених функцій у проміжку 0 < t < 1. Припустимо, крім того, що послідовність {xi{t)} є повна в просторі (L). Теорема 6. Якщо при цих умовах ряд ?=1 0 є збіжний у середньому для х (t) ? (L), то ряд 00 %x для кожмого y(t) ? (М) є майже всюди обмежений і навпаки. Доведення аналогічне доведенню теореми 5: хі розглядають як елементи області (L), а у і як лінійні функціонали; нарешті, беруть на увагу теореми 3 і 4, ст. 95. Зокрема, коли xi(t) = yt(t), то маємо висновки: 1°. Якщо ряд (8), де xt(t) — yt{t) ? (Ж) в середньому збіжний для кожного x(t)?(L), то він для кожного x(t)?(M) обмежений і навпаки. 2°. Якщо ряд (8), де Xi(t) — yt(t) ? (О), а {#*} повна послідовність у просторі (С), рівномірно збішений для кожного x(t)?(C), то він у середньому збіжний для коомного х (t) ? (L) і навпаки. Доведення одержимо так: в першій частині теореми хі розглядаємо як елементи області ((7), а у і = хі як представників функціоналів; а в другій частині хі(t) розглядаємо як елементи області (L), а у і = х\ як представників лінійних функціоналів, означених у просторі § 3. Базиси в просторах типу (В). Послідовність {#/} елементів простору Е називаємо базисом1, якщо для кожного елемента х ? Е існує точно така одна послідовність чисел {yji}, що 00 1 Це поняття запровадив у загальному випадку Ю. Ш а у д є р (Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalrdumen. Math. Zeitechr. 26 (1927), ст. 47—65). |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)