Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
94 Розділ VIf. Віортогональні послідовності Припустимо далі, що {xt(t)} є послідовність функцій у просторі (?<<р)), де р>і, {уі{і)} — послідовність функцій в {.І) і, крім того, ці послідовності в даних просторах повні (або замкнені). Теорема 5. Якщо при заданих умовах ряд і Xi{t)Jyi{t)x{t)dt 00 V збігається в середньому з р-тим степенем для всякої фушці\ x(t) ?(?р), то ряд 7) 7) збігається в середньому з ——— - им степенем для всякої функ- Доведення. Нехай і І і (*) = fyt (*) х (t) eft для х (t) 6 (і(р>). (7) 00 Отже, 8а умовою ряд 2/xifi(x) Для всякого х ? (Х(р)) б вбіж- 1=1 ний в середньому (тобто за нормою) з 2?-тим степенем. Тим самим на основі теореми 3, ст. 93, ряд U{) y(t) fxi(l)y(t)dt, де y{t) є збіжний за нормою (тобто, в середньому з —?-=--им степенем) для всякого лінійного функціонала F, означеного в просторі (?(р)), а так само ряд (*7) буде збіжний для всякої функції y(t)'? {L^-1'), що треба було довести. Зокрема, якщо xt (t) = у і (t) ? (?(г)), де г найбільше з чисел р і —?—т, то висновком з попередньої теореми буде така теорема: р— 1 Лкгцо ряд І X /у і /ft f /у» •f/l /V* /ті /^» т 1 = 1 Q |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)