Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 2. Біортогональні послідовності в деяких окремих просторах 93 Теорема 2. Ящо норми частинних сум (3) ряду (4) 1=1 в своїй сукупності є обмежені для всякого лінійного функціонала F, то ряд (2) є збіжний для кожного елементна х ? Е, який є границею будь-якої послідовності лінійних комбінацій, утворених з членів послідовності {} Доведення. Докладаючи п 8п{%)^ 2Xf fi{x)} (б) 1=1 п йаємо F [sn(x)] — %F(xt) • ft (x) — Sn (x) (див. (З)); а тому що за умовою \Sn\ <Ж, де М є незалежне від п число, то на підставі теореми б (розд. V, § 1), ст. 69, для кожного х?Е маємо lim | вп {х) | < оо. Отже, на основі теореми б (розд. V, § 1), ст. 68, існує таке число N, незалежне від п і від ж, що |sn(a?)| < N - \х\. А тому що для г = 1, 2, ..., маємо lim sn(Xf) — хи то прості міркування приводять до висновку, що існує Km sn{x) для кожного елемента х ? Е, який задовольняє умови теореми. Теорема 3. Якщо норми частинних сум (5) ряду (2) в своїй сукупності є обмежені для кошеного х ? Е, то ряд (4) збіжний для кожного функг^іонала F, який є границею довільної послідовності лінійних комбінацій, утворених з членів послідовності {ft}. Доведення аналогічне доведенню теореми 2. Теорема 4* Якщо виконуються умови попередньої теореми і крім того послідовність {хі} є фундаментальна, то ряд (2) збігається для всякого елемента х ? Е. Доведення. На підставі (5) для кожного х ? Е маємо Ит | вп (х) | < оо і, крім того, lim sn (xt) = xt для і = 1, 2,. . ., а n-foo п->оо звідси на основі теорем 5 і 3 (розд. V, § 1), ст. 68, випливає збіжність ряду (2) для кожного х Є Е. § 2. Біортогональні послідовності в деяких окремих просторах. Розгляньмо тепер властивості біортогональних послідовностей в просторах, які нас особливо цікавлять. Покладемо |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)