Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
РОЗДІЛ VIII. ЛІНІЙНІ ФУНКЦІОНАЛИ В ПРОСТОРАХ ТИПУ (В). § 1. Вступні зауваження. Якщо дано векторіальний замкнений простір елементів і простір Е всіх лінійних функціоналів, означених в Е, то, як ми бачили (див. розд. IV, § 3, ст. 48, лема), для довільного елемента х0 ? Е — G існує такий лінійний функціонал f ? Е, що маємо / (х0) — 1 і f (х) — 0 для кожного х? G. Тепер повстає питання, чи немає аналогічного співвідношення між просторами Г(^Е лінійних функціоналів і елементами простору Е. Хочемо докладніше дослідити, чи існує для даного замкненого векторіального простору Г(^Е лінійних функціоналів, означених в Е, і для довільного функціонала /0 ? Е — Г такий елемент х ? Е, що задовольняє умови /0 (х) = 1 і / (х) = 0 для кожного / ? Г. (1) В загальному випадку відповідь є негативна. Приймемо, наприклад, за Е простір (с) збіжних послідовностей дійених чисел, за Е множину всіх лінійних функціоналів, означених у просторі (с), а за Г множину всіх лінійних функціоналів, означених у просторі (с), які мають вигляд 00 f{x) = 2 *ilu Де х = {Ь} Є (с) і 2 І ««І < оо. (2) І=1 І=1 Так означена множина Г є векторіальним і замкненим простором. Справді, покладемо = O, (3) П~>оо де /„ Є Г і fn (х) = 2^РЬ для п = 1, 2, ... (4) |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)