Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 7. Засупосуваппп простору {$) 43 г Зокрема, якщо з умови ?hiuik = O, де Jc — 1, 2y..., випливає h± = h2 = . .. = hr = 0, то система рівнянь (8) має розв'язок для кожної послідовності {у\і}. /Доведемо Теорему 13. Якщо система рівнянь (8) для колісної послідовності у = {т)і} має точно один розв'язок, то для кожтго натурального і існує таке натуральне Nt, що а» = 0 для всіх h > 00 Доведення. Покладемо Н& = /* (у), для 2^а* ?* = >ЗЬ Де * = 1» Л1 2, ... На основі теореми 10, ст. 39, /* (у) є лінійним функціоналом, означеним у просторі (s) послідовностей дійсних чисел (див. ст, 12). Отже, для кожного натурального k існує така скінченна послідовність чисел а1ь а2ь . . ., oln^ що (13) Рівняння системи (13) ? лінійно незалежні. Справді, припустимо навпаки, що існує така скінченна послі- г довність чисел hv ho, ..., Лг, що ^hkonk = 0, де г = 1, 2, ... Внаслі- док (13) для кожної послідовності у = {^і} буде І/у) = О. (14) k=l Коли для довільного сталого натурального числа j < r, покладемо у]? = aif, то зразу побачимо, що для відповідного розв'язку {?к} системи рівнянь (8) маємо ?/ = 1 і ?& = 0 для кожного кф-j. Підставивши ці значення в (14), одержуємо Л/ = 0; внаслідок цього всі коефіцієнти Тік g нулями, що й доводить лінійну незалежність рівнянь (13). Звідси, на основі теореми 12, для кожної послідовності {?ft} випливає існування послідовності чисел {т)і}, які 00 задовольняють рівняння (13). Отже, ряд ]?аік ?* збіжний для кож- тої послідовності {%к}, значить для кожного і = 1, 2, ... існує число N, яке задовольняє вимоги теореми. Зауваження. Коли відкинемо умову, що існує тільки один розв'язок, то теорема буде несправедлива. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)