Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
42 Розділ III. Простори типу (F) Зауваження. Коли припустимо, що система рівнянь (8) для ножної збішеної (не обов'язково до нуля) послідовності {rti} мав точно один розв'язок, то, крім таблиці {Ькі}, що задовольняє 1°, існує ще така обмежена послідовність {с*}, що оо Ік = Ск Ит т]і -f 2' Ьш Ці для к = 1, 2, ... І І Всі ці теореми одержуємо з загальної теореми, доведеної напочат- ку (теорема 10, ст. 39), з допомогою відповідного представлення лінійного функціонала в кожному окремому випадку (див. теореми, ст. 42 і 66—59). § 7. Застосування простору (s). Подаємо загальну форму лінійних функціоналів, означених в просторі (s), песлідовноетей чисел (див. Вступ, § 7, 2, ст. 12). Теорема 11. Кожний лінійний фун%ціонал / (х), означений в просторі (s), має вигляд f{x) = Iailu (12) $ де N є натуральне число, залежне від /. Доведення. Нехай #п = {^п)}, де ?(п> = 0, для іфп і ?{[*>=. 1. Покладемо / (хп) — пп. Для кожної послідовності х = {Нп} маємо Ж = 27 ?л #п> ЗВІДКИ / (ж) = 2^ ^п/(^п) = 2 Сіп %п. Тому ЩО ЦЄЙ ряд л=1 п=1 п—1 для кожної послідовності {^п} збіжний, то існує таке натуральне N. що ап — 0 для всіх п> N, звідки для / (х) випливає формула (12). О. Toeplitz1 подав таку теорему: Теорема 12. Для того щоб існувала послідовність чисел яка задовольняла б систему рівнянь N\ 2 пік Ik = 7)і, 7<=1 де {Ni} будь-яка послідовність натуральних чисел, необхідно і достатньо, щоб для коленої скінченної послідовності чисел hly &2, ..;, Лг, з умови 2hictik — 0, де к = 1, 2, . .., випливала рівністі ї=і г 2hi-ці = 0. 1O,Toeplitz? Vber die Auflosung unendlich vieler linearer Gleichungev mit unendlich vielen Unbekannten, Rendiconti del Circ. Mat. di Palermo XXVIII (1909), ст. 88—96. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)