Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 6. Системи лінійних рівнянь з нескінченним числом невідомих 41 З цього виходить, що Е є простором типу (F). Тепер покладемо У = Щх) для кожних двох послідовностей х = {Z,k}?E і у = {гц} QEV Щ° задовольняють систему рівнянь (8). Легко побачити, що (у, Є) = (а, Є)о < (ж, Є), (11) де (і/, 6) позначає, очевидно, віддаль в Ег, а (х, 6) віддаль в Е. На основі (11) з lim хп — б випливає lim Щ#п) = 6. Отже, опера- п-Усо п->оо дія у = Щх) є лінійна, а тому що вона перетворюй взаємно однозначно Е на Е1} то обернена до неї операція x — U~l {у) на підставі теореми 5, ст. 34, також лінійна. Отже, коли для k = 1, 2,... покладемо: Z,ii=fk(y), де ж = С/-1 (г/) = {Н*}, то побачимо, що з lim уп = 6, де #n= tf"1 (^n) = (?іп)}> випливає lim хп = 9 і тим самим lim QV = 0; значить, адитивні функціонали /k(?/) e ліній- П->00 ними функціоналами в Elt що й треба було довести. З цієї теореми, як побачимо, випливає така теорема1: Коли система рівнянь (8) має точно один розв'язок для кожної послідовності {т]і}, що належить до 1° простору послідовностей збіжних до нуля, 2° простору (s), 3° простору (І) у 4° простору (І(р)), де р > 1, то існує така таблиця {bki}, що 00 Ik = 2 hi т]і для k = 1, 2, де послідовності {?*} і {тзї} задовольняють систему рівнянь (8) г конуються відповідно умови: 00 l° 2 < оо для Тс = 1, 2, ..., 2° таблиця має тільки скінченні рядки, тобто існує тика послідовність чисел Пк, що bki = 0 для всіх і> пк, 3° І Ьм < тк для певної послідовності чисел оо 4° 2 z=l р р-і < оо для к = 1, 2, . . . 1 Випадок 4° був відомий, див. F. Riesz, Le$ systbmes cFequatsions line- air es a une infinite cTinconnues, Paris (1913). |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)