Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
Розділ 111. Простори типу (F) Доведення. Позначимо через Е множину всіх послідовностей х — {?*}, що задовольняють умови: Ф a) ряд 2аік %>к є збіжний для кожного і = 1, 2,...., b) послідовність {-/],•} — [ 2 пік ?& ! належить до Ех. Покладемо \к=і J для кожної пари х' = {?,'к} і х"— {%'к) елементів з Е: п {X ,Х )і — SUp 2пік {Ік ~ ^/с) 1<п<оо fc=l І00 'If00 "і 2!аік Хк \ * { 2агк Хч \ e^v a віддаль к~1 ) \к==1 ) (х',х") в Е означимо за допомогою формули і=0 Зауважимо, що коли Ііт хп = 0, де хп = {^п)} ?Е, то для кожного к = 1, 2, ... буде lim IP = 0. (9) Справді, зважаючи на однозначність розв^язку системи рівнянь (8), к-та> колона має принаймні один член а^фО. Отже, припустимо, що для к = 1, 2, . .. (10) Тому що Km#n=6, маємо Km (#n, 6)^ = 0, звідки lim^fl)'=0, бо (10) дає afllz^:O; як легко довести за допомогою індукції, маємо таким чином взагалі Km ^ = 0 для всіх натуральних к. Доведений висновок (9) дає змогу впевнитися, що Е є повним векторіальним простором. Для цього припустимо, що послідовність {#„}, де хп = {^п)\, задовольняє умову Km (xp, xq) = 0, Тоді Km (хр — xq) = 0, звідки, зважаючи на (9), Km (^ — ^) = 0 для к = 1, 2, . . . і тому існує границя Km ^п) = ?& для кожного натурального к. Нехай я? — {?*}• Легко перевірити, що о: ?Е і що Km (o;n, x)t•= 0 для кожного г = 1, 2, . . ,, звідки Km (хП9 х) = 0; отже, простір І2 є справді повний. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)