Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 6. Системи лінійних рівнянь з нескінченним числом невідомим 39 Нехай Ег буде множина функцій ? (?), неперервних разом із своїми г першими похідними, де t є параметр, що пробігає С. Покладемо для кожної пари функцій \ (t) ? Ег і r\ (t) = max |5 (t) - Ч (t) I + 2 max tec f=i tec Тепер позначимо через х = U (?) операцію, яка кожній функції ? = ^ (0 Е -&1 припорядковуе таку функцію а: = х (и, v) ? E9 яка на межі G області G зводиться до 5 (така функція x(u,v)?E і до того тільки одна за умовою існує для кожного ? ЄЕг). Так означена операція є, очевидно, адитивна і задовольняє умови теореми 5, от. 34. Отже, згідно з цією теоремою, вона є неперервна, що й треба було довести. Зауваження. Коли б ми відкинули умову однозначності розв'язку рівняння (7), то ми повинні були б розглядати підмножину простору Е, що складається з функцій, які на межі С зводяться до функцій з ЕІ9 і, вводячи в цій множиш метрику, аналогічно тому, як це б}7ло зроблено при доведенні теореми 7, на основі теореми 4, ст. 34, могли б зробити тільки такий висновок: якщо {Д (і)} має подане вище значення, то існує послідовність таких функцій {хп (и, v)J9 що задовольняють (7) і зводяться на С до ?п (і), a Km xn (u, v) = 0 рів- — д2х помірно в G і lim -?-?¦ = 0, ... рівномірно в кожній замкненій області, яка лежить у G. § 6. Системи лінійних рівнянь з нескінченним числом невідомих. Нехай (аік) (де і = 1, 2, ... і к — 1, 2, .. .) довільна таблиця (подвійна послідовність) дійсних чисел, а Ег простір типу (F), елементи якого є послідовності чисел. Крім того, припустимо, що п-ий член послідовності (п — 1, 2,. . .), розглядуваний як функціонал від цієї послідовності, є в просторі Ег лінійний. Теорема ЇО^ Якщо для кожної послідовності у = {т]*} ?Ег система рівнянь U = ~rn(dei = l, 2, ...) (8) має завжди тільки один розв'язок {Е&}, то функціонали Е,к = со — fk {у) {де h — 1, 2, ...), означені в ЕЛ так, що Zaikfk {у) = Ци кожного у ?Ег (і = 1, 2, ...) ^ лінійні. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)