Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
38 Розділ III. Простори типу (F) Може трапитися так, що для граничних умов якогось певного характеру рівняння (7) має завжди тільки один 'розв'язок x(u,v)f неперервний в О разом з тими частинними похідними, що входять в (7), тобто з частинними похідними першого й другого порядку в множиш G, внутрішній для G. Такі граничні умови можуть бути зрештою дуже різноманітні. Вони можуть полягати, наприклад, у тому, що є дані значення функції на кривій (еліптичний тип), або на частині цієї кривої (гіперболічний, параболічний типи), або дані значення похідної на нормалях до кривої G і т. д. Приймемо, що рівняння (7) для кожної функції ? (t), неперервної разом із своїми похідними, наприклад, до т порядку, де t є параметр, що пробігає криву (7, має розв'язок х (и, v), який на кривій С зводиться до функції ? (t). Припустивши це, покажемо, що, ящо послідовність (?n (tj) задовольняє накладені вище на ? (t) умови і якщо для і = 1, 2, .. ¦, г рівномірно Km ?n (t) = 0 і Km ?<? (0 = 0, то, позначаючи через {хп (и, v)} послідовність відповідних розв'язків рів- нянняЖ (х) = 0, маємо рівномірно в О: Ит хп {и, v) — 0, а також, у кож- д2хп ній замкненій області, що мжить у О, маємо рівномірно: Ит -^-^ = 0, П+ао OU д2х Ит -р-^ = 0, ... і т. д. {для всіх частинних похідних, vw входять у рівняння (7)), Для доведення, позначимо через Е множину всіх функцій х (и, v), що задовольняють рівняння (7), які є в О неперервні, в О мають частинні неперервні похідні другого порядку (ті, що входять у (7)). Нехай {On} є послідовність таких замкнених областей, що лежать у G, і одночасно G = ]?Gu. Покладемо для кожної пари х (и, v) ? Е і у(и, v) (х, у) = max I x (u, v) — y (u, v) | -f- max 1 и, veGk 2fc ia U, V д2х Ьгу fol2 дЧ д2у du2 + ... де в першу суму входять різниці всіх частинних похідних, що зустрічаються в рівнянні (7). При такій метриці Е є простором типу (F); співвідношення lim хп = х (на підставі такого означення віддалі) виражає, що хп — д2х збігається рівномірно в G до х, частинні похідні ---?, ... (в формулі (7)) збігаються рівномірно до відповідних частинних похідних функції х} у кожній замкненій області Ok (де k = 1, 2, ....). |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)