Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 5. Неперервність розв'язків диференціальних рівнянь 37 Позначаючи через (С1) множину всіх неперервних функцій з періодом 1, покладемо для кожної пари функцій xt{t) і x2{t) з (О1): (хг (t), х2 (t)) = max І х± (t) — х^ (t) |. 0*1 Легко бачити, що (С1) утворює простір типу (F). Нехай для будь-якого числа h ф 0 /.v X(t \Ті) — X(t) л . , ._. у (*) = v ^ ^ 5^ при 0 < t < 1. (б) Позначивши через (S) простір вимірних ф)тнкцій (див. 1, ст. 12), який є типу (F) (див. § 1, ст. 60), зауважимо, що у (t) ? (8). Отже, вираз (5) визначає лінійну операцію, областю якої є (С1), а проти- область належить до (8). Нехай lim hn = 0, де hn Ф 0 і Un(x)=x{t + h?)~x{t± для 0 < t < 1. (6) fin Отже, коли б кожна неперервна функція мала майже всюди похідну, то існувала б границя виразу (6), майже для всіх значень t. Тому для кожного х ? (С1) існувала б границя lim Un {x), яка була б означена П->00 в області (8), тобто границя за мірою. Покладаючи U{x) = lim Un {x), П->00 ми одержали б адитивну, вимірну (В) операцію, яка, зважаючи на теорему 4, розд. І, ст. 21, була б лінійною операцією. U(x) є очевидно похідною функції х (t). З неперервності операції U(x) виходить, що якщо рівномірно lim xn (t) = 0, то Ш мірою маємо lim x'n (t) = 0. Але для хп (0 = П->-00 П->- CO = — sin ;r— рівномірно маємо lim хп Ш = 0 в той час, коли по- П 2тс Г п->оо [ 1 nt\ .. слідовшсть похідних j х— cos к— J не збігається за мірою до нуля. Значить існують неперервні функції, які не мають похідної на множині додатної міри. § б. Неперервність розв'язків диференціальних рівнянь з частинними похідними. Нехай F (х) = 0 є лінійне диференціальне рівняння г частинними похіднини, наприклад, рівняння другого порядку д2х . д2х д2х . дх , дх , л де аі (і = 1, 2,..., 6) є неперервні функції змінних и та v в замкненій області G, обмеженій замкненою простою кривою С. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)