Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
36 Розділ 111. Простори типу (F) Доведення випливає з теореми 7, бо, як легко бачити, з Km хп — = х0 і Km U(xn) = у0 випливає у0 = U(x0). П->оо Лема 2. Коли дано адитивну операцію у — ТІ{х) і таку лінійну операцію z = V(y), що зУ(у) = б випливав у = 6, то тоді, коли операція V[U(xj] є лінійна, операція U(x) також лінійна. Доведення випливає з леми 1, бо рівняння V[U(x)] = V(y) має для кожного х точно один розв'язок. Означення. Клас Т лінійних операцій зветься тотальним, якщо з сукупності рівностей V{x) — б, для V ? Т, випливає рівність х = б. Теорема 8. Нехай y=U{x), де х?Е і у ?Ег буде адитивна операція, а Т — тотальний клас лінійних операцій, означених в Ev Коли V[U(x)] для кожного V ? Т є лінійною операцією, mo U(x) є також, лінійною операцією. Доведення. Припустимо, що Km хп = х0 і Km уп — у0, де уп = П->00 П->00 = U{xn) для я = 1,2,... Для кожної операції V ?Т маємо: lira V[U(xn)] = Km V(yn) = = V(y0). Тому що операція V[U(x)] e лінійна, то одержуємо Km V[U(xn)] = V[U(x0)], звідки V[U(xQ)] — V(y0) = б, тобто V[U(x0) — уо]—-!д, нарешті, зважаючи на те, що клас Т є тотальний, маємо U{xQ) = yQ. На підставі теореми 7, операція U(x) є також лінійна. Теорема 9. Якщо {Ut(x)}9 де х?Е' і {Vt(y)}, де у?Е" є дві послідовності лінійних операцій, протиобласті яких лежать у просторі Ег типу (F) і якщо система рівнянь Ui{x) = Vi{y), де * = 1, 2, .. ., для всіх х має точно один розв'язок у = U(x), то операг^гя U(x) є лінійна. Доведення. Припустимо, що справді, Km хп = х0 і для відповід- ної послідовності {уп}, Km Уп = у0- Зважаючи на неперервність опера- цій {Ut} і {Vі), одержуємо: Чі {х0) — Vi (yQ) для кожного і = 1, 2, ..., звідки у0 = f/(rr0), що на підставі теореми 7 дає неперервність операції у =. t § 4. Неперервні функції без похідної. Як застосування, покажемо, спираючись на теорему 4 розділу І, ст, 21, що існує неперервна функція, яка не має похідної на множині додатної міри1. 1 S. Banach, Sur la convergence presque partout des fonctionnelles line- wires, Bull, des Sc. Math. L. (1926), ст. 27—32 і 36—43. Застосування методу розвинули С. Сакс і Г. ПІ т є й н г а у з, які скористувалися ним для дослідження різних проблем з теорії функцій (див. S. Saks, Fund. Math. X, ст. 186— 196 і Н. Steinhaus, Stud. Math. І, ст. 51—81). |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)