Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
. § 3* Ряди елементів. Обернення лінійних операцій 55 Теорема 6. Ящо векторіальний простір Е є простором (F) не тільки на підставі означення віддалі (х, у), але також, і на підставі другого означення віддалі (х, у)г і ящо з Km (хп, х) — 0 завжди випли- л->оо ває Ііпі (хп, х)х = 05 то тоді тамж з Km (хп, х)х = 0 завжди випливеш Mm (хп, х) = 0, Л->00 ^ так що поняття границі є одне й те саме в обох метриках. Доведення одержимо з теореми 5, коли за простір Ег приймемо простір Е 8 метрикою (х, y)v а лінійну операцію у — Ь{х) визначимо з допомогою співвідношення у = х. Теорема І-./Кожна адитивна операція y=U(x)9 що задовольняє умову: з Літ хп — х0 і lim U(xn) = ?/о випливав у0 = U(x0), в лінійна. Доведення. Запровадимо в Е нове означення віддалі: де xf ?Е, х" ?Е, у' = П(х'), у" = U(x"), тут (а/, о:") виражає первісну віддадіь елементів х' і ж" в І7, а (у', у") віддаль елементів З/ і у" в j&j. Легко бачити, що розгляданий з визначеною віддаллю (х\ х")г простір Е є типу (F); зокрема, щоб довести, що він є повний, приймемо, шо {хп} така послідовність точок, що Um (#р, хя)г — 0; отже, зважаючи на (4), маємо lim (xp, xq) = = lim (2/р? ^) — 0, тим самим існують таке х0 і таке у0, що Km (л;п^ #0) = ^т (ї/п> У о) = 0. А тому що за умовою у0 = U(x0), то Л->00 П->00 на підставі формули (4) одержуємо lim (xn, хо)г = 0. п->оо Але внаслідок (4) для всіх х' і з?' маємо тим самим з lim {xn, ои)г = 0 випливає Km (xn, х) =¦ 0. На основі тео- реми (6), з Km (xn, х) = 0 випливає, навпаки, Km (#n, ^)і = 0, тим самим внаслідок (4) Km U(xn) — U{x). Отже, адитивна операція U(x) n-foo є неперервна, що й треба було довести. Лема h Нехай Vі (х) і Uff(x) дві лінійні операції, означені відповідно в просторах Ш і Е" типу (F), протиобласті яких лежать у просторі Ev також типу (F). Яки^о рівняння U'{x) = U" (у) для кожного х має точно один розв'язок y = U{x), то операція U(x) є лінійна. З* |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)