Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
34 Розділ 111. Простори типр (F) 00 Внаслідок зауваження 7° ряд ? хп — збіжний. Нехай х буде 71=1 сума цього ряду. На підставі (3) і 6° маємо J х І < є, і? зважаючи на 00 00 (2): U(x) = 2Т U(xn) — ? Уп — у. Отже, ми довели твердження (1). п=1 п=1 Тому що для кожного у ? Ег маємо lim — у = 6, то виходить, 1 що існує таке натуральне п, що У < У] і можна знайти таке х, що U(x) ~~ у, а звідси U(nx) = y. Але з цього виходить, що Н ^=Ег згідно з твердженням теореми. Теорема 4. »#км(о лінійна операція U(x) перетворює Е на весь простір Ev то для кожної послідовності точок {уп} множини ЕІ9 збіжної до у0 — U(x0), існує така послідовність точок {хп} множить Е9 що збігається до х0 і притому для кожного п — 1, 2, .. •, Доведення. Нехай {єп} буде послідовність додатних чисел, що вбігаються до 0. Тому що операція U(x) лінійна, справедливе твердження (1), яке ми вивели при доведенні теореми 3; з цього виходить, що відображення відкритої сфери | х \ <еп містить у собі відкриту Сферу [ у j < 7)ті, ДЛЯ КОЖНОГО П = 19 2, ... Розглянемо таке натуральне т0, що для кожного т > т0 нерівність | ут — Уо І < У]п буде справедлива принаймні для одного значення п і нехай для кожного т такого, що ут ф у0, пт буде найбільше із значень п. Нехай, нарешті, хт буде точка, визначена такими умовами: a) якщо т < т0, покладемо хт — довільній точці, яка задовольняє рІВНЯННЯ U(xm) = Ут, b) якщо т > т0 і ут ф у0, покладемо хт = довільній точці відкритої сфери І х — х0 І < гтю яка задовольняє те саме рівняння, c) якщо т > т0 і ут = у0, покладемо хт = х0. Так означена послідовність {хп) задовольняє, як неважко перевірити, твердження теореми. Теорема 5. Якщо лінійна операція перетворює взаємнооднозначг.о Е на ЕІ9 то перетворення є взаємно неперервне \ Доведення випливає безпосередньо з теореми 4. 1 У випадку простору типу (В) (розд. V, § 1) ця теорема, а також теорема 6 (її висновок) знаходяться в цитованій на ст. 24 праці, але доведення там інше. В цьому випадку теорему 6 можна сформулювати так: якщо векторний простір Е є типу (В) при нормі ||ог||, а також і при іншій нормі ||#||х> і якщо існує така стала с>0, що ||я|[і«<с||а?|) при всіх a?gJB, то існує стала сг > О така, що ||о?|| -<сА j( a? j|а при всіх х?Е. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)