Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 3. Ряди елементів. Обернення лінійних операцій 33 Якщо Н є другої категорії, то цієї самої категорії в також якась певна множина НПа. Нехай Кх відкрита сфера з центром уг і радіусом tjx, що міститься в Н'щ. Звідси зразу приходимо до висновку, що відкрита сфера 2Г2 з центром — ух і радіусом — -^ міститься в Н'г. Справді, з ^ ? К2, тобто з У~~пУі < — TJj ВИХОДИТЬ бо \щу — — Уі\ = П({ Щ У У\ < і\\\ значить, існують такі точки уп G Нщ, що lim yn, — щу, юбто, що lim —yn=. у, а тому П-У«5 П->00 ^0 ЩО — уп ?#і, ТО ЗВІДСИ у Нехай Кг довільна відкрита сфера з центром yz ^ Их та радіусом % яка міститься в К2. Тоді множина точок у3 — у, де у ? Их має точками скупчення всі точки відкритої сфери | у | < у). Отже, приймаючи уг = U(xz) і у = U(x) для х3 і х, які належать до 01} маємо |я3 — ж|<|^з!~і~!а:;|<^ і U(X3 — х) = Уг — У- Так ми довели, що похідна множина відображення відкритої сфери | х \ < є містить у собі відкриту сферу \у\ <гі. Нехай тепер єї = ^-для і -- 1, 2, .. . На підставі попереднього існує послідовність таких чисел у]і > 0, що похідна множина відкритої сфери \х\ < єі містить у собі відкриту сферу І у і І < т) і і можна, очевидно, прийняти, що lim 7]і = 0. Визначимо за допомогою ІНДУКЦІЇ ДВІ ПОСЛІДОВНОСТІ ТОЧОК {уп} І {Хп}. Покладемо І у І < У) = У]х і нехай: а) ух така довільна точка множини Ех, що \у — уг\ < т)2, а а^ така, точка множини Е, що U{x^) ----- ух і | % | < є^ < b) yn така довільна точка множини 2?ІЗ що а хп така точка множини Е, що U(xr) = уп і \ с Таким чином одержуємо: 00 2 п=1 (2) і, зважаючи на те, що \хп ==-^, маємо 00 00 0 ? V (3) З С. Банах. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)