Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
32 Розділ III. Простори типу (F) З означення ряду виходять такі співвідношення: 00 00 6° з х — 2Jxt виходить \х\ < 21 xt і- 1 іІ і—І л Справді, для всякого є>0 існує таке п, що \х — ^ звідси І х І < є + п ?=1 00 п < є + 21 ж? І і> зауваживши, що є довільне, маємо \х\ < 21 ж? |- ж/1 збіжний, то ряд ?хі збігається до якогось ОО 00 7° певного елемента. п Покладемо sn = 2хь Коли V < Ь т0 маємо | ep —sq\ = ^ І Хі ^ я?і |. Отже, бачимо, що Km \sp — sq \ — 0 і 00 тим самим ряд 2хі збігається до певного елемента. г=і Встановивши це, доведемо такі теореми. Теорема 3. Протиобласть лінійної операції в або множиною першої категорії9 або тотожна з простором Ev Доведення. Припустимо, що протиобласть Н С ^і лінійної операції U(x), означеної в Е, є множиною другої категорії. Доведемо попереду, що (1) для кожного є > 0 існує таке число tj > 0, що відображення відкритої сфери | яг | < є, дане операцією U(x), містить у собі від- %риту сферу | у | < т). Нехай дано якесь є > 0, тоді для всякого натурального п по- значимо через Gn множину точок вигляду х = пх', де \х'\<~, а через Нп відображення множини Gn, здійснене за допомогою U(x), тобто множину точок y=U(x), для x?Gn. Для будь-якої даної точки х маємо завжди Ит —х = 0; отже, існує таке нату- ральне п9 що 1 — ж оо <—, тобто таке, що х ?Gn. З цього виходить, 2 що Е = % Gn і Я = 2 нп- п=1 п=1 |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)