Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 2. Однорідні операції 31 Зокрема маємо таку теорему, яка випливає з теореми 2 (розд. І, § 2, ст. 20) і з зауваження на ст. 21 (через те що кожна множина типу (F) зв'язна). Теорема 1. Якщо Е є простір типу (F), то кожний лінійний, вимірний (В) і другої категорії простір Н СІ Е є тотожшй з простором Е. § 2. Однорідні операції. Тепер займемося адитивними операціями, визначеними в просторі Е типу (F), протиобласті яких лежать у просторі ЕІУ що також є типу (F). Для всіх таких операцій справедливі теореми 3, 4, 5 і 6 розділу І. Крім цього, називаючи однорідною кожну операцію U(x), яка для всякого числа h задовольняє рівність U(hx) = hU(x), маємо таку теорему; Теорема 2. Кожна лінійна операція є одночасно однорідною. Доведення. Тому що за умовою операція U(x) лінійпа, то для кожного х ? Е і для кожного раціонального г маємо очевидно U(rx) = = rU(x). Отже, якщо {гп} є послідовність раціональних чисел, збіжна до h, то \imrnx = hx. З неперервності операції U(x) виходить, що U(kx) = lim U(rnx) = ]im rnU(x) = hx, і тим самим операція ЇІ(х) справді однорідна. § 3. Ряди елементів. Обернення лінійних операцій. Покладемо для скорочення І х і — (х В) Неважко перевірити, що для кожного х і у множини Е маєм з такі формули: .2° 3° 4° ,у) \ у\ 0 | = 0; з х ф 0 виходить \ х \ > 0, \ \\ | — х\ = \х\, х\ — \у\ <\% + у\ <\%\+\у\, li д li | \ \ 5° з lim хп — х виходить lim | хп \ ~ \ х |. Коли {хп} дана послідовність елементів множини Е, то кажуть, 00 що ряд %хі збігається до елемента х (або, що х є сумою цього ряду), п якщо lim 2/хі — х: Позначують це так: П->00 І=1 х = 2хи (1) |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)