Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
РОЗДІЛ III. ПРОСТОРИ ТИПУ § 1. Означення і вступні зауваження. Нехай Е є векторіальний (D) повний простір, що задовольняє такі умови (х, хПу у — елементи простору Е, a h, 7іп — числа): 1 \лі У) — \л — у і иу> 2° з Km Тгп = 0 виходить lim hnx — 0 для кожного х, 3° з lim хп = G виходить lim й#„ = 0 для кожного h. п-foo n->oo Простори j? з властивостями 1° — 3° будемо називати просторами типу (F). Всі приклади 1 —10, просторів (D), досліджених в §7 Вступу, є, як легко бачити, також прикладами просторів типу (F). З умов 1° — 3° випливають негайно такі властивості границі: а) якщо lim хп = х і lim уп = у, то lim (хп + Уп) = х -f- у. Справді, досить зауважити, що завжди маємо — х — у, 6)<(жл — х + уп — у, уп — у) + + (Уп — у,®) = (хп — х, 0) + (#„ — у, 0) = (#п, ж) + {уп, у); б) з limhn = h випливає limЛ„# = Аа; 5лл будь-якого х?Е. n->oo n-V» Справді, завжди маємо (hnx,hx) = ((^n — h)x, 0). Отже, бачимо, що кожний простір типу (F) є одночасно простором типу {О). 8 цього виходить, що всі теореми розділу І будуть справедливі, коли приймемо, що Е простір типу (F). Треба відзначити, що векторіальні простори типу (F) є зв'язні, бо для кожних х і у, що належать до Е, множина елементів вигляду Ьх + (1—h) у (де 0 < h < 1) в зв'язною множиною, яка містить у собі елементи х і у. Коли .ЙГ будь-яка сфера (див. ст. 14) в просторі Е, типу (F), то легко побачити, що множина хК (див. означення, ст. 19) є теж сферою. Нехай КфО. Тоді операція U{x)=hx є неперервне і взаємно однозначне перетворення простору Е в себе самого і легко бачити, що множини замкнеш, відкриті, негусті, першої чи другої категорії або вимірні (В) перетворюються відповідно у множини тої самої властивості. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)