Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
РОЗДІЛ IV. НОРМОВАНІ ПРОСТОРИ. § 1. Означення векторіальних нормованих просторів і просторів типу (В), Векторіальний простір Е називаємо нормованим, коли існує функціонал, який назиБазмо нормою і позначаємо через | х | або || я? || та який задовольняє такі умови: 1) | в | = 0 і | ж | >0 для х ф 0, 2)|ж + у|<|а;| + |у|, 3) J іх | = 111 • | х | для всякого числа t. Коли віддаль двох елементів х і у простору Е визначимо фор- то одержимо, очевидно, метричний простір. Коли, крім цього, простір є повний (див. ет. 11), тобто, якщо в даному випадку з умови Km \хр — xq\ =0 випливає існування такого елемента х ? Е, що lim \xp — ж І = 0, то простір називаємо простором типу (Б)г. Р->ОО Очевидно, кожний простір типу (В) є тим самим простором типу (F), проте простір (F) не завжди є простором (В); наприклад, всі простори, наведені у Вступі, ст. 11—14, є просторами не тільки типу (F), а й типу (В), за винятком просторів (в) і (S). § 2. Властивості лінійних операцій. Поширення лінійних функціоналів. Будемо досліджувати спочатку нормовані простори Е, не обов'язково повні. Теорема І. Щоб адитивна операція U(x), означена в векторіальному просторі О (Z Я, була лінійна, необхідно і достатньо, щоб існувало таке число М, що: | U{x) | < Ж * | х | для всіх х ?<2. (1) 1 Цей клас просторів типу (В) вперше загально дослідив я в цитованій праці Fund. Math. Ill (1922), ст. 133—181. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)