Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
46 Розділ IV. Нормовані простори Доведення1. Умова є необхідна. Справді, з припущення, що нема такего числа Ж, виходить, що існує така послідовність {хп}, що | U(xn) | >Мп \хп\, де lim Мп = + ос. Покладаючи Yn = маємо | Yn J = -^-, звідки lim Yn =¦ б, внаслідок чого lim U(Yn) = б, а це неможливо, бо І U(Yn) І = ~^f—{ г * І U (хп) > 1. Умова є достатня. Для кожного хп і х з О, з умови lim #п = а; випливає lim | я; — хп\ = 0> отже, lim [ U(xn) — Ї7(ж) | = = lim | С7(х — хп)\ < lim ЛГ | х — хп \ = 0, нарешті lim C7(^n) = U(x), що й треба було довести. Коли дано лінійну операцію U(x), означену в векторіальному просторі Q(ZE, то нормою операції U(x) в просторі G називаємо таке найменше число М, що задовольняє умову (1). Норму позначаємо через | U |g-. Коли G — Е, то замість | XI \е можна писати коротше | U \. Отже, для кожного х ?G маємо | U(x) | < | U \G | x |, і легко переконатися, що | U \G = sup | Щх) |. ж Є G, | х | < 1 Виникав питання, чи в кожному векторіальному нормованому просторі існує лінійний функціонал (означений у цьому просторі), який не дорівнює тотожно нулеві. Позитивна відповідь випливає з поданих далі теорем2, з яких перша є легким висновком теореми 1 (розд. II §2, ст. 24). Теорема 2. Коли в векторіальному просторі G (2E в означений лінійний функціонал / (х), то існує лінійний функціонал F(x), означений в Е, який задовольняє умови: F(x)=f(x) для x?Gi Для доведення, досить у теоремі 1, II розділу, покласти р (х) = Теорема 3. Для кожного х0 ? Е існує такий лінійний функціонал, означений у просторі Е, що Для доведення досить у попередній теоремі 2 позначити через G множину елементів hx0, де h — будь-яке число, і покласти F(hx0) — = h • І х01. Зокрема виходить, що в кожному векторіальному 1 Пер. S. Banach, 1. с, Fund. Math. Ill, ст. 151—163. 2 Теореми 2—6 подано в статті Н. Hahn, Vber lineare Gleichungen in linear en Raumen, Journ- fur reine u. angew. Math. 157 (1927), ст. 214—229; див. т&о)Ж Banach, Sur les fonctionneUes lineaires, Stud. Math. I (1929), ст. 211—216, зокрема теорема 2 і зауваження. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)