Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 2. Властивості лінійних операцій. Поширення лінійних функціоналів 47 й нормованому просторі існує лінійний функціонал, що не дорівнює тотожно нулеві. Теорема 4. Нехай f (х) є будь-який д5упкціонал F(x), означений на множині G CZE. Щоб існував лінійний фунт^іонал, який означений у просторі Е і який задовольняв би умови: Г f(x)=F(x) для х ?G, 2° \F\ < М для даного числа М > 0, необхідно і достатньо, гцоб справджувалась нерівність М 2 для 'кожної скінченної послідовності елементів х±, х2, ..., хГ мно- жини G і для кожної скінченної послідовності дійсних чисел Доведення. Умова є необхідна. Справді маємо F Хі Г і'Хі звідки на основі 2° 1=1 М тому що внаслідок 1° F{xj) =/ (хі) для кожного Xi=G, то виходить нерівність, яку треба було довести. Умова є достатня. Справді нехай Н — векторіальний простір г елементів вигляду z — ¦? In хі, де г позначає натуральне число, hi f«i r будь-які числа, a Xi?G. Покладемо <p(z) = 2^i f{xt). їі r Для z = ]?hi хі = x\ маємо, за умовою, s 2 = о. 1 Для деяких спеціальних просторів цю теорему довів F, R і є s z, TMter- висЬищеп йЬег Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann, 69 (1910), ет. 449—497, а в загальнішій формі Е, Hell у, Vber lineare Functional- operotionm, Wiener Berichte 121 (1912), ст, 265—297. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)