Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
48 Розділ IV. Нормовані простори Отже, функціонал 9(z) У просторі Н є однозначно визначений і, як легко бачити, адитивний. З другого боку, з J <р («) ] = М виходить < М. Існування в про- сторі Е функціонала F(x), який задовольняє умови 1° і 2°, виходить з теореми 2, ст. 46, коли покласти там <р замість / і Н замість О. Зокрема, якщо G є послідовність {хп} елементів простору Е і через Сп запишемо відповідні значення функціонала / (#), то одержимо Теорему 5. Щоб у просторі Е існував лінійний функціонал F(x), що задовольняє умови: 1° F(xn) = Сп, для п ^ 1, 2, ... і 2° | F\ < М для даного числа М > 0, для даної послідовності {хп} елементів простору Е і для даної послідовності дійсних чисел {Сп}, необхідно і достатньо, щоб для кожної скінченної послідовності дійсних чисел , Л2, •. •, hr було Г 2hi Сі г 2 hi 1=1 Хі § 3. Фундаментальні й тотальні множини елементів. Розглянемо тепер деякі теореми, що в теорії нормованих просторів відіграють подібну роль, як теорема Weierstrass'a про наближення за допомогою многочленів неперервних функцій у теорії функцій дійсної змінної. Лема. Коли дано векторіальний простір G (^_F і елемент у0 простору Е, що лежить на віддалі d > 0 від простору G, то існує лінійний функціонал F (х), означений у просторі Е, який задовольняє умови: y 2)F{x) = 0, для Доведення. Позначимо через Н множину елементів х, вигляду х = х' + *2/0, (2) де а є довільне дійсне число, a, x' З означення видно, що Н є лінійним простором, а тому що d > 0, то запис (2) елемента х є однозначний. Визначаємо в просторі Н адитивний функціонал / (х), покладаючи для х вигляду (2) |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)