Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 3. Фундаментальні й тотальні множини елементів 49 f(x) = а. Тему що |яг| = |я/ +ауо| = |а| 1 a > І ос І -d, то, з одного боку, одержуємо І/ (х)\ = Joe І < -j \х\у звідки |/|л<-г; з Сі CL другого боку, з lim \хп — уо\ =d для xn?G випливає | / (хп — yQ) \ = = 1 < \хп — у0 | • | / [и, звідки 1 < d • І / |я; отже, — < | /|я. Внаслідок цього |/|н = —. На основі теореми 2, ст. 46 (докладаючи знов Н замість ((?)), доходимо до висновку, що існує такий лінійний функціонал F (х), означений вЕ, щоF (х) =/ (#), для х=Н і \F | = |/ |я = -у (умова 3); зокрема jP (^) = 0 для х ?0 (умова 2) \F (у0) = 1 (умова 1), що треба було довести. Теорема 6. Коли дано будь-яку множину О (^F і довільний елемент у0 множини Е, то для того, щоб існувала та%а послідовність {9п} лінійних комбінацій1 елементів множини G, що lim gn = у0> необхідно і достатньо, щоб з умови f (х) = 0, для х ? О випливало І ІУо) — 0, для всякого лінійного функціонала f (x). Доведення. Умова є необхідна. Справді, з рівності / (х) = 0 для всіх х G О- випливає рівність / (дп) = 0 для п = 1, 2, . . . , звідки /(limflrn)=/(y0) = 0. Умова є достатня, зважаючи на попередню лему, якщо через G позначимо множину всіх лінійних комбінацій елементів розглядуваної множини Сг, що й треба було довести. Множину G C2 Е називаємо фундаментальною множиною тоді, коли множина всіх лінійних комбінацій елементів множини G густа в Е, і називаємо її тотальною, коли кожний лінійний функціонал / (х), рівний нулеві, для всякого х ? 6г, одночасно дорівнює нулеві ДЛЯ ВСЯКОГО X ? Е. З теореми 6 виводимо легко таке: Теорема 7. Щоб множина G d E була фундаментальна, необхідно і достатньо, щоб вона була тотальна. Лінійний функціонал / (х) називаємо ортогональним до елемента х0, коли / (х0) = 0; ортогональним до G, коли ця рівність є справедлива для всіх х ? G. З леми ст. 48 виходить, що для кожної лінійної і замкненої підмно- жини G^E в просторі Е існує такий лінійний функціонал, який не дорівнює тотожно нулеві і є ортогональний до G. 1 Див. означення, розд. II, § 1, ст. 24. 4 С. Банах. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)