Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
50 Розділ IV. Нормовані простори § 4. Загальна форма лінійних функціоналів у просторах (С), (?(г)), (с), (Кг)), (т) і в підпросторах простору (т). Розглянемо тепер загальний вигляд лінійних функціоналів у деяких окремих нормованих просторах1. 1. Простір С. Тому що норма, означена в просторі {М)2, тотожна для неперервних функцій з нормою в просторі (С), то (G) можна розглядати як векторіальний простір, що лежить в (М). Коли дано лінійний функціонал / (х), означений у просторі (С), то на основі теореми 2, ст. 46, існує такий лінійний функціонал, означений в (Ж), що задовольняє умови: F(x)=f(x) для хЄ {С)9 (1) ). (2) -l 1 для ° < и < 1 ~ \ 0 для t < и < 1 Покладемо: = g{t). (3) Покажемо, що g (t) є функцією обмеженої варіації. Нехай а = = to<t1< • • • <tn = b і є* = sign [g (tt) — g (/,_!)] для і = 1, 2, Маємо п п 2" І 9 (U) ~ 9 («/-і) | = 2І9 {U) — 9 (U-i)} є/ = як легко бачити, норма цієї суми дорівнює 1, 3 (2) виходить, що варіація g(t)<\F \Ш) = | / \(су (4) О</<1 Після цього, нехай х (t) ? (С) і п %п — *>п \Щ — f\ XYZ;\ \*>г \Щ — Кг-і \Щ). (5) Отже, функція zn {и) приймає в інтервалах < и < — відпо- кь ?ь відно значення х і —). Тому що функція іс = х {и) є неперервна, 1 Див. Вступ, § 7, ст. 13, приклади 4, 5, 6, 8 і 9. 3 Див. З, ст. 12. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)