Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 4. Загальна форма лінійних функціоналів 51 то маємо Km || х — zn \\ = 0, звідки на підставі (1): П>ОО UmF(zn)=F(x)=f(x). (6) П->оО З другого боку, рівності (3) і (5) дають Отже, тому що х (t) ? (С) і д (t) є функція обмеженої варіації, маємо UmF(zn) —fx (t) dg. звідки на підставі (6): о і f (х) — J х (t) dg для всіх х (t) ? (С). (7) о Але тому що | / (х) | = і fx(t)dg о < варіація д (t) max | x (t) |, 0<t<l 0<t<l то на підставі (4), покладаючи |/| = |/|(С), маємо: варіація д (t) = Отже, ми одержали теорему1: Кожний лінійний функціонал, означений у просторі ((7), має вигляд f(x)=fx{t)dg, о де g (І) є незалежна від х (t) функція з повною варіацією |/ |. Навпаки, коли задано функцію обмеженої варіації g (t), то функціонал / {х), визначений рівністю (7), є, очевидно, лінійний. Зауважимо, що дві функції обмеженої варіації g (І) і дг (І) визначають за формулою (7) тоді і тільки тоді один і той же лінійний функціонал у просторі (С), коли їх різниця є стала в [0, 1] за можливим винятком точок їх розриву, що лежать всередині [0, 1]. Норма функціонала, визначеного за допомогою формули (7) функцією обмеженої варіації д (t), дорівнює var g (t), де д (t) — функція, визначена 0<t<l такими умовами д (0) = q (0), д (1) = д (1) і д (t) = lim g (t -f h) для 0 < t < 1. ft++0 1 її перший довів F. R і e s z (Sur les operations fonctionnelles lineairest Comptes Rendus de l'Acad. des Sc, 149 (1909), CT. 974—977). 4* |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)