Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
52 Розділ IV. Нормовані простори 2. Простір (?(г)), де г > 1. Нехай задано лінійний функціонал (#), означений у просторі {L^)\ покладемо я 0 <^ и <j! t Доведемо, що g (t) є абсолютно неперервна функція. Справді, нехай ЬІ9 o2, ..., §п ійтервали, що не перекриваються з відповідними кінцями U і t'u де U < і\ і і = 1, 2, . . ., п. Покладаючи єї = sign [^ (ft) — g (U)]9 маємо І 2у і я №) — g (и) п = 2- і=і і (і « - ад) < і / («0 —g{t п У $$/ (8) Тому що функція (?/t— ^J Єї має в інтервалах Ьі значення є* = ± 1, а поза ними дорівнює нулеві, то за умовою, що інтервали Ьі не перекриваються, маємо п 1=1 П де | Si | позначу є довжину інтервала Ьі. Отже, на підставі (8) ff(Q-ff(ti)\<\f\'fIi маємо 1=1 І , а 8 Цього виходить, що функція gr (t) g абсолютно неперервна. Покладемо тепер g' (t) = a {t). Функція а (^) є інтзгровна, і і тому що ?0 = 0, то масмо, очевидно, / (?<) =/а (<) d?, звідки « («) с^ад. (9) Нехай сх, с2, . (t) = Сі для fc_ .., сп є будь-які числа, 0 < t0 < tx < • • • < tn — 1 i < * < «і і * = 1, 2, ..., п. Маємо, очевидно, х (t) — _,)> звідки на підставі формули (9) {x)=fx(t)«.(t)dt. (10) |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)