Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 4. Загальна форма лінійних функціоналів 53 Отже, рівність (10) задовольняється для кожної „східчастої" функції х (t). Якщо тепер х = х (t) є будь-яка вимірна і обмежена функція, то існує така послідовність {xn{t)} обмежених у своїй сукупності „східчастих" функцій, що збігаються майже всюди до х (t). Внаслідок і цього limy*| Хп (t) — х (t) |гdt = 0, звідки lim \\хп — х || = 0 і на П->-00 Q П->00 підставі формули (10) 1 1 / (х) = limfxn (t) a (t) dt = їх {t) a (t)dt. n>co Отже, рівність (10) є справедлива для всякої вимірної і обмеженої функції х (і). Ствердивши це, розглянемо спочатку випадок, коли г > 1. Покладемо: х *"1- sign для для *(*) < п > п, Маємо | / (хп) | = fxn (t) a {t) dt і тому що хп (t) а (і) — | хп {і) | • | а (І) | > | жп (0 маємо ¦fh xn{t) rdt (t) s-l ^і < I/ ($) rd/, звідки, зважаючи на t1 \і-- /| а?п(<) |r dt\ r <|/|. о / Тому що ця нерівність справедлива для всіх натуральних п, а | ^п (0 |г < | а (<) | rs~r = | а (і) |s і майже всюди lim \ xn(t)\r=\a(t) s, то одержуємо (П) отже, функція a (t) e сумовна з s-тим степенем. Внаслідок цього, якщо х (t) є довільна вимірна функція, сумовка з r-тим степенем, то добуток х {t) a {t) e, очевидно, інтегровною функцією. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)