Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
102 Розділ VIII. Лінійні функціонали в просторах типу (Б) § 2. Регулярно замкнеш множини лінійних функціоналів. Векторіальна множина Г лінійних функціоналів, означених у просторі (В), зветься регулярно замкненою, якщо для кожного означеного в просторі jE7 і не належного до Г лінійного функціонала існує такий елемент хо?Е, що задовольняє умови (1). З наведеного прикладу виходить, що замкнена векторіальна множина лінійних функціоналів не завжди є регулярно замкнена. Але обернене твердження справедливе, тобто кожна регулярно замкнена векторіальна множина лінійних функціоналів Г є одночасно замкнена в звичайному розумінні (дпв. Вступ, ст. 14). Справді, нехай ІпЄГ для w=1, 2, ... (б) 1 = 0. (7) Якщо при цих умовах /0 не належало б до множини Г, то з умови, що Г g векторіальна і регулярно замкнена множина, випливало б, що існує елемент хо?Е, який задовольняв умови (1); на основі (6) ми мали б зокрема /п{х0) — 0 для п = 1, 2, . . ., звідки, на підставі (7), /0(#0) = lim/n(#0) = 0, тобто суперечність з умо- вами (1). Отже, треба припустити, що /0 ? Г9 тобто що множина Г є замкнена. Легко подати приклад регулярно замкнених множин. Справді, нехай Е — простір типу (Б), a G^E — довільна векторіальна множина. Множина Г лінійних функціоналів, означених в Е, яка задовольняє умову: f (х) = 0, для кожного х ? G, є, як легко бачити, регулярно замкнена. Зауваження. Якщо множина Г є не тільки векторіальна і регулярно замкнена, але також тотальна, то вона містить у собі всі лінійні функціонали, означені в Е. Справді, з означення тотальної мЬожини (див. розд. III, § З, ст. 36) випливає, що єдиним елементом множини Е, для якого всі функціонали /? і"7 дорівнюють нулеві, є елемент 0. В цьому розділі будемо розглядати властивості регулярно замкнених множин лінійних функціоналів1. § 3. Трансфінітно замкнені множини лінійних функціоналів. Якщо & — будь-яке граничне порядкове число, тобто таке, що не має безпосередньо попереднього, а {<7|| обмежена послідовність типу ? дійсних чисел, тобто така послідовність, де 1 < ? < 1 Див. S. В а п а с її, 1. с. Studia Mathematica І, ст, 228—234, де вміщені теореми § 3—5 цього розділу. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)