Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 3, Трансфінітно замкнені множини лінійних функціоналів 103 < &, то трансфінітною верхньою границею послідовності {^} називаємо нижню межу дійсних чисел ?, які задовольняють нерівність Сі < t, починаючи від певного показника (порядкового), залежного від. t. її позначають через Km C$. Трансфінітну нимтю границю означають формулою: ^д lim Се = — Km (— Лема 1. Лщо для послідовності {/^} лінійних функціоналів типу маємо і < М для 1 < І < &, то існує такий лінійний функціонал /, гцо задовольняє умови | / | < М і lim fa (х) < / (х) < lim /^ (о:) З^я кожного х ? Е. (8) Доведення випливає з теореми 1 (розд. II, § 2), ст, 24? коли покласти р (х) = Km Д (х). Функціонал р (х) задовольняє крім того нерівність ^р (х) < і? • j х . Тепер лінійний функціонал / (х), що задовольняє умови (8), будемо називати трансфтітною границею послідовності {/$ (#)}. Зокрема, якщо Кіп | /П — / | = 0, то функціонал / (х) є, оче- П>0 видно, трансфінітною границею послідовності {/п (^)}5 бо для кожного х ^ Е маємо Km fn (x) = / (аг) = Km fn (x). Векторіальний простір Г лінійних функціоналів називають трансфінітно замкненим, коли кожна трансфінітна послідовність {/^} функ- фіоналів з Г, з обмеженими в своїй сукупності нормами, має транс- цінітну границю / ? Г. Кожний трансфінітно замкнений простір Г є також замкнений у звичайному розумінні. Справді, формули (6) і (7) дають Km /„ (х) = /0 (х) для кож- П>оо ного х ? Е, і тому що кожний функціонал Д який задовольняє умову Km fn (x) </(#) < lim fn{x), є в цьому випадку тотожний з функціоналом /0, то цей останній, як єдина трансфінітна границя послідовності {/п}? належить до простору Г, який тим самим є замкнений. Лема 2. Якщо дано векторіальний трансфінітно замкнений простір {означених в Е) лінійних функціоналів Г і лінійний функціонал /0, що не міститься в J7, то для кожного числа М, яке |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)