Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
104 Розділ VIII ш Лінійні функціонали в просторах типу (В) задовольняє умови О < Ж < | / —/0 | для кожного f ?Г, (9) існує такий елемент х0 ?ЕУ що маємо /0 (#0) = 1, / (х0) = 0 для кожного f ? Г і \ х0 \ < ^. Доведення. Нехай {Мі}, де Мх = Ж, довільна необмежено зростаюча послідовність чисел; позначимо через tn найбільше кардинальне число, яке задовольняє такі умови: якщо дана довільна множина G d E потужності меншої ніж tn, то існує такий лінійний функціонал / ? Г, що | / —/0 | < М2 і \f(x) —/0 (х) | < Мг • | х | для кожного х ? G. (10) Спочатку звернемо увагу на те, що так означене число tn не перевищує потужності Е, бо, якщо б існував такий функціонал / ? Г, що | / (х) —/0 (х) | < Мг * | х | для кожного х ? Е, то було б І/—/о і <-^і =Jtf", а це суперечило б умові (9). Покажемо тепер, що tn є е%інченним числом. Припустимо, навпаки, що tn не є скінченним числом і розглянемо довільну множину О С2Е потужності tn. Упорядкуємо елементи множини О в трансфінітну послідовність {х%}, де 1 < ? < &, причому & означає найменше порядкове число потужності tn; очевидно, & є граничне число. Отже, для кожного порядкового числа т] < & потужність множини членів послідовності {#?}, де 1 < ? < т), є менша tn; значить, на основі означення числа tn, для кожного т] < & існує такий лінійний функціонал jn ? Г9 що /* ~ /о | < -^2 І I /ч О**) —/о («*) I < -^1 • І Щ |, ДЛЯ ВСІХ І < 7], (11) тому що за умовою Р є трансфінітно замкнений, то існує лінійний функціонал / ? Г, який є трансфінітною границею послідовності {frj}> де 1<т]<&, і який, тим самим, на основі (11) задовольняє УМОВИ І / —/0 І < М2 І | / (Xg) —/0 (Х() І < Мх • | Х? | ДЛЯ 1 < < ? < #, тобто умови (10). Отже, коли припустити, що m не є скінченним числом, то для кожної множини Q CLE потужності tn існував би такий функціонал / ? Г, що задовольняв би умови (10), а це суперечить означенню tn. Отже, тому що ш число скінченне, то існує така скінченна множина Ог (2 Е, що кожний з функціоналів, який задовольняє умови — /о І < ^2 і І / (х) — /о (х) І < Мг • І х І для кожного х ? Gv не належить до Г. За допомогою індукції легко прийдемо до висновку, що в Е існує послідовність (&jj таких скінченних множин, що жодний |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)