Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 3. Трансфінітно замкнені множини лінійних функціоналів 105 функціонал /, який для певного Тс задовольняє умови І/—/о| < Ми і |/(ж)— /о (ж) | <1г |ж| для x?Gi і t <&, не належить до Г. Отже, якщо для певного / маємо | f(x) —/0 (х) | <ifr|«| для «Є0* і »=1, 2,..., (12) то функціонал / не міститься в Г. Можемо припустити, що елементи множини Gt, де і = 1, 2, . .., мають норми, відповідно рівні -=-р. Для цього досить помножити Ж і ці елементи на відповідно дібрані числа. Коли впорядкуємо елементи цих множин у послідовність {жп}, виписуючи спочатку елементи множини ОІ9 після — бг2, і т. д., то одержимо: lim хп = 0 і | жп | < 1 для кожного п = 1, 2,. . . , (13) І ЯКЩО |/(жп) — /о (жп)| <МХ для кожного ті = 1, 2,. . . , (14) то функціонал / не належить до 7і. Позначимо через Go множину всіх послідовностей {/(жп)} для f?T. Маємо, очевидно, G0(2(c) і {/0(^n)}G (с)- На основі (14) віддаль послідовності {fo(xn)} від лінійної множини Go буде не менша ніж Mv Зважаючи на загальний вигляд лінійних функціоналів у просторі (с) (див. розд. IV, § 4, ст. 56) і на підставі леми (див. розд. IV, § 3), ст. 48 (покладаючи G = Go), існує така послідовність чисел {(7п) і таке число (7, що маємо: С lim /0 (хп) + І Оп/о (*п) = 1, (15) П->оо П=1 С1іт/(яп) + J' Cnf{xn) ^ 0 для кожного / ? Г (16) 1 <± (И) 00 Отже, покладаючи хо—^Спхп, на підставі (13) одержуємо, л=1 нарешті, з (15) — (17): /0 (х0) = 1, f(xQ) = 0 для всіх / ? Г і % 1 1 що й треба було довести. З доведеної леми 2 випливає така: |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)