Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
106 Розділ VII/. Лінійні функціонали в просторах типу (В) Лема 3. Поняття "регулярно замкнених векторіальних просторів лінійних функціоналів і трансфінітно замкнених просторів є еквівалентні. Доведення. Якщо векторіальний простір Г лінійних функціоналів є трансфінітно замкнений, то він є замкнений у звичайному розумінні, з чого, на основі леми 2, безпосередньо випливає, що Г є регулярно замкнений простір. Навпаки, нехай Г — регулярно замкнений векторіальний простір, {Д} — довільна послідовність типу & лінійних функціоналів, що належать до Г і норми яких є обмежені в своїй сукупності, нарешті /0 — довільний функціонал, що є трансфінітною границею послідовності {/|}. Тоді маємо Km/$¦(#) </0(#) <lim/|(o:) для всіх х?Е. (18) Отже, якщо /0 не належав би до Г9 то за означенням множини Г існував би такий елемент х ? Е, що задовольняв би умови (1), ст. 1С0, звідки, зокрема, /|(.т)=О, /0(х) = 1 всупереч (18). Значить маємо /0 ? Г так, що Г є трансфінітно замкненим простором. Леми 2 і 3 дають: Теорема 1. Якщо дано векторіальний, регулярно замкнений простір Г лінійних функціоналів {означених в Е) і лінійний функціонал /0, що не належить до І\ то для кожного числа Ж, гцо задовольняє умову 0 < М < |/ —/01 для всіх f ? Г, існує такий елемент х0 ? Е, що маємо fo(xo) = 1, f(x0) = 0 для всіх f § 4. Слаба збіжність лінійних функціоналів. Кажемо, що послідовність {/п} лінійних функціоналів збігається слабо до функціонала /, якщо маємо: Km /n (х) = / (х) для всіх х ? 2?. Функціонал / називається слабою гратщью послідовності Отже, функціонал /(х) є адитивний і вимірний (Б); і тим самим на основі теореми 4 (розд. І, § 3), ст. 21, він є лінійний. З другого боку, на підставі теореми 5 (розд. V, § 1), ст. 68, послідовність норм {|/n|} e обмежена. Нарешті, маємо: |/„[, (19) |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)