Бібліотека Dokladno - наукова та навчальна література

Головна

Природничі

Ви переглядаєте книгу:

Банах С.С.
Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)

Сторінка (загалом з 2 до 219):
Попередня 
Наступна

§ 5. Слабо замкнені множини лінійних функціоналів 107
бо із слабої збіжності послідовності {/п} до / випливає lim | fn (х) | =
= | / (я) І для всіх х, а тому що | /п (х) \ < | /п | • | х | для и = І, 2, ...,
то маємо: |_/(ж) | < | х | -Пт |/п |, звідки одержуємо формулу (19).
З попереднього випливає легко:
Теорема 2. Щоб послідовність {fn {х)) лінійних функціоналів
збігалася слабо до функціонала f (x), необхідно і достатньо, щоб
одночасно виконувалися умови:
послідовність {\fn\} — обмежена (20)
!іт/„(*)=/(*) (21)
гг~>со
для всіх елементів деякої густої (або фундаментальної) множини*
Множина Г ? В лінійних функціоналів, заданих на Е,
називається слабо компактною, якщо з кожної послідовності
елементів ідеї множини можна вибрати слабо збіжну послідовність
функціоналів.
Теорема 3. Якщо простір Е — сепарабельний, то кожна
множина лінійних функціоналів на Е, норми яких є обмежені в своїй
сукупності, є слабо компактна.
Доведення. Справді, досить з послідовності {/п} вибрати частинну
послідовність, збіжну в зчисленній густій множині, що легко
одержимо з допомогою діагонального методу.
§ 5. Слабо замкнені множини лінійних функціоналів
у сепарабельних просторах типу (В).
Коле дано дві множини' лінійних функціоналів А і Г, де А (^ Г9
то множина А вветься слабо густою в Г9 якщо для кожного / ? Г
існує в А послідовність {/п}? що збігається слабо до /.
Множина Г лінійних функціоналів називається слабо
замкненою, коли вона містить у собі як елемент кожний функціонал,
що є слабою границею певної послідовності належних до Г
функціоналів.
Теорема 4. Якщо простір Е є сепарабельний, то кожна
множина Г лінійних функціоналів, означених в Е, містить у собі
зчисленну під множину А, слабо густу в Г.
Доведення. Можна обмежитись випадком, де норми
функціоналів з Г є в своїй сукупності обмежені, бо кожна множина
лінійних функціоналів є сумою щонайбільш зчисленної кількості
множин, що мають цю властивість.
Нехай {хп} — послідовність густа в Е, a Ln для всіх п = 1,
2, ... , — множина точок п — вимірного простору з координатами
l), f (х2), . .. , / (хп) (22)

Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)