§ 5. Слабо замкнені множини лінійних функціоналів 107 бо із слабої збіжності послідовності {/п} до / випливає lim | fn (х) | = = | / (я) І для всіх х, а тому що | /п (х) \ < | /п | • | х | для и = І, 2, ..., то маємо: |_/(ж) | < | х | -Пт |/п |, звідки одержуємо формулу (19). З попереднього випливає легко: Теорема 2. Щоб послідовність {fn {х)) лінійних функціоналів збігалася слабо до функціонала f (x), необхідно і достатньо, щоб одночасно виконувалися умови: послідовність {\fn\} — обмежена (20) !іт/„(*)=/(*) (21) гг~>со для всіх елементів деякої густої (або фундаментальної) множини* Множина Г ? В лінійних функціоналів, заданих на Е, називається слабо компактною, якщо з кожної послідовності елементів ідеї множини можна вибрати слабо збіжну послідовність функціоналів. Теорема 3. Якщо простір Е — сепарабельний, то кожна множина лінійних функціоналів на Е, норми яких є обмежені в своїй сукупності, є слабо компактна. Доведення. Справді, досить з послідовності {/п} вибрати частинну послідовність, збіжну в зчисленній густій множині, що легко одержимо з допомогою діагонального методу. § 5. Слабо замкнені множини лінійних функціоналів у сепарабельних просторах типу (В). Коле дано дві множини' лінійних функціоналів А і Г, де А (^ Г9 то множина А вветься слабо густою в Г9 якщо для кожного / ? Г існує в А послідовність {/п}? що збігається слабо до /. Множина Г лінійних функціоналів називається слабо замкненою, коли вона містить у собі як елемент кожний функціонал, що є слабою границею певної послідовності належних до Г функціоналів. Теорема 4. Якщо простір Е є сепарабельний, то кожна множина Г лінійних функціоналів, означених в Е, містить у собі зчисленну під множину А, слабо густу в Г. Доведення. Можна обмежитись випадком, де норми функціоналів з Г є в своїй сукупності обмежені, бо кожна множина лінійних функціоналів є сумою щонайбільш зчисленної кількості множин, що мають цю властивість. Нехай {хп} — послідовність густа в Е, a Ln для всіх п = 1, 2, ... , — множина точок п — вимірного простору з координатами l), f (х2), . .. , / (хп) (22)
|