Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
108 Розділ VIII. Лінійні функціонали в просторах типу (Б) для всіх / ? Г. Очевидно, для кожного п існує така зчисленна множина Ап CZ -П Щ° точки з координатами (22) для / ? Дп утво- 00 рюють множину густу в Ln. Множина А = ^Дп є, очевидно, зчисленна і для кожного / ? Г існує така послідовність {/п}, яка задовольняє умови /п ? An CZ А і І /п (#0 — / (#0 | < — при всякому г = 1, 2, ..., п і яка, тим самим, збігається слабо до /, бо, зважаючи на те, що функціонали /п належать до A Q Г, їх норми за умовою обмежені в своїй сукупності. Теорема 5. Для сепарабельних просторів Е типу (В) поняття регулярно замкнених і слабо замкнених множин лінійних функціоналів {означених в Е) є еквівалентні. Доведення. З одного боку, нехай {/п} є послідовність лінійних функціоналів, що належать до Г, і збігається слабо до функціонала /0. Отже, маємо: lim /n (х) — /0 (#) для кожного х ? Е. (23) П->00 Якщо /0 не містилося б у множині Г, яка є за припущенням регулярно замкненою множиною, то за означенням цього поняття існував би такий елемент хо?Е, що задовольняв би умови /0 (х0) = 1 і / (х0) = 0 для кожного / ? Г. (24) Тому що /п ? Г, то для п = 1, 2, ... , було б /п (х0) = 0 і на підставі (23) ми мали б /0 (х0) = 0, що суперечить умові (24). Звідси виходить, що /0 ? Г і тим самим множина Г є слабо замкнена1. З другого боку, з уваги на підставі леми 3, ст. 106, досить показати, що слабо замкнена множина Г є трансфінітно замкнена. Нехай {/$} — така послідовність типу &, що иЄП\и\<М, де 1<?<0-, (25) a {xt} послідовність густа в Е. За умовою, для кожного натурального п існує таке порядкове число ?п, що lim/| (хї) < /|„ {хі) < lim /| (#і) + - Для 1 < і < w. (26) Простір J57 є сепарабельний, отже, на основі теореми 3, ст. 107, з послідовності {/і,,} можна вибрати частинну слабо збіжну послідовність. Позначаючи через / слабу границю послідовності {/|„} на 1 Як бачимо, для доведення цієї частини не треба умови сепарабельності простору Е. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)