Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 6. Умови слабої збіжності лінійних функціоналів 109 підставі (25) маємо / ? Г і одночасно з (26) одержуємо як висновок, що / є трансфінітною границею послідовності {/^}. З теореми 1, ст. 106, і доведеної теореми 5 випливає безпосередньо: Теорема 6. Якщо простір Е типу (В) є сепарабельний і якщо дано векторіальну слабо замкнену множину Г лінійних функціоналів, означених в Е, і довільний лінійний функціонал /0, що не належить до Г, то для кожного числа М, що задовольняє умови: 0 < М < | / —/0 | для кожного f ? Г, існує такий елемент х0 ? Е, що маємо: /0 (х0) = 1, / (#0) = 0 для кожного / ?Г і \хо\ < tf- З теореми 5 на основі леми 3, ст. 106, випливає еквівалентність понять регулярно, трансфінітно і слабо замкнених множин лінійних функціоналів, означених у сепарабельних просторах Е типу (В). Як висновок із зауваження ст. 102 випливає: Теорема 7. Якщо простір Е типу (В) є сепарабельний, а Г множиш лінійних функціоналів, означених в Е, не тільки векторіальна і слабо замкнена, але також тотальна, то Г містить у собі всі лінійні функціонали, означені в просторі Е (тобто Г = Е). § 6. Умови слабо? збіжності лінійних функціоналів, означених у просторах (С), (І>>), (с) і Переходимо до послідовного вивчення слабої збіжності лінійних функціоналів, означених у деяких окремих сепарабельних просторах типу (В). Такими просторами є простори (С), (LW) для <р > 1, (с) і {Щ для р>1. Густими зчисленними множинами в просторах (О) і (№>) є поліноми з дійсними коефіцієнтами, в (с), відповідно в (Z<P)) — послідовності дійсних чисел, члени яких, починаючи від певного досить великого індекса, є сталі, відповідно дорівнюють нулеві. Простори (Х(р)), де р > 1. Тому що кожний лінійний функціонал, означений в (?(р)) (див. розд. IV, § 4, ст. 52), має вигляд fx (t) a (t) dt, де a (t) Є (і(А)), (27) о то послідовність функціоналів = (Iх(*)а«(*)dt\' д° ^w (28) |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)