Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
110 Розділ VIII. Лінійні функціонали в просторах типу (В) збігається слабо до функціонала (27), якщо для кожної функції TJ&) маємо: і і lim Jx (t) an (t) dt = Jx (t) a (t) dt. (29) П^оо Отже, можна легко показати, що для того, щоб послідовність (28) збігалася слабо до функціонала (27), необхідно і достатньо, гцоб було одночасно: І1 /| an(?) fr-idt \ обмежена (ЗО) lim JoLn {t) dt = J ql (t) dt для 0 < u < 1 \ (31) n>ooo 0 Доведення випливає з теореми 2, ст. 107, коли пригадати, ЩО р LO p , далі, функції xu{t), означені дл О < и < 1 умовами f 1 для 0 < t < и Хп (t) = { [О для и <t < 1, 1 утворюють тотальну множину в (Ир)) і, нарешті, що Jxu {t) an (t) dt = о u Jan (t)dt для кожного п = 1, 2, ... о Простір (L). Кожний лінійний функціонал / (х), означений в (L), має вигляд і / (Х) - Jx (t) a (t) dt, де a (t) ? (M) (32) о (див. розд. IV, § 4, ст. 55). Отже, послідовність лінійних функціоналів !і ^ [х (t) an (t) dt\9 де an {t) G (-3f) (33) о і збігається слабо до функціонала (32), якщо маємо і і lim Jx (t) an (t) dt = Jx (i) a (t) dt для кожного x (t) ? (L). (34) 1 Ці умови подав F. Riesz, 1. a, Math. Ann, 69 (1910), ст. 449—497. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)