Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 8. Слабо неперервні лінійні функціонали 113 послідовність (аПі0О}> що для детгоі функції Oq (?)?(№>) маємо: і і lim /аПі {t) x(i)dt= /а0 (t) x (t) dt длг. кожного x (t) ? Справді, вирази f<xn(t)x(t)dt для кожного п — 1, 2, ... можна о розглядати як лінійні функціонали, означені в \l\p-1i). Тому що мно- жина їх норм g обмежена, а простір \L\p-1i) сепарабельний, то на підставі теореми 3, сг. 107, в послідовності {ап (?)} можна вибрати частинну, слабо збіягяу послідовність. Треба тільки застосувати зауваження, вроблене щодо просторів (ІДр)), §6, ст. 111. Для (М). Кожна послідовність функцій (ап {і)}, де ап (t) ? (Ж), норми яких є обмежені в своїй сукупності, містить у собі таку частинну послідовність {аПі {t)}, що для деякої функції <% (t) ? (М) маємо: і і lim /аПі (t) х (t) dt = /а0 {t) x (t) dt «'¦>» о о для кожного х (t) ? (L). Доведення аналогічне попередньому. Для {№)> де р > 1 і (т) маємо аналогічні теореми. § 8. Слабо неперервні лінійні функціонали, означені в просторах лінійних функціоналів. Нехай F (/), де / ? Е, буде функціонал, означений у просторі Е всіх лінійних функціоналів (означених у просторі Е типу (В)). Цей функціонал називається слабо неперервним, якщо для кожної послідовності {/п} лінійних функціоналів, слабо збіжної до /, мазмо lim F(fn)=F(fi П->00 Теорема 8. Лщо простір Е типу (В) є сепарабельний, а лінійний функціонал F (/), означений для f ?Е9 є слабо неперервний^ то існує такий елемент х0 ?Е, що F(f)=f (x0) для всіх f ?Е. (47) 1 Цю теорему подав F. Riesz, 1. о., ст. 466—467. 8 С. Банах. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)