Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
114 Розділ VII/. Лінійні функціонали в просторах типу (В) Доведення. Через Г позначаємо множину всіх функціоналів / ? Е, що задовольняють рівнянняF (/) = 0. Як висновок із слабої неперервності F випливає слаба замкненість множини Г. Можна, очевидно, прийняти, що ГфЕ. Нехай /0 — лінійний функціонал, що задовольняє рівняння F (/о) = І- (48) Звідси на підставі теореми 6, ст. 109, виходить, що існує такий елемент х0 ? Е, що /0 (яс) = 1 і / (х0) = 0 для всіх / ? Г. (49) Отже, тотожність / = /о -F if) + ? для кожного / Є Е, де <р = / — /0 -F (/) (50) на підставі (48) дає F (<р) = 0; звідси <р ^ J1 і, тим самим, згідно з (49), ер (д*0) = 0. З цього на основі умови (50) випливає властивість (47), що треба було довести. Зауваження. Якщо простір Е не є сепарабельний, то теорема 8 залишається справедливою тоді, коли функціонал F (/) є лінійний, а множина, позначена через Г, є регулярно замкнена (а це дозволяє нам у наших міркуваннях брати на увагу теорему 1, ст. 106, замість теореми 6, ст. 109). |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)