Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
РОЗДІЛ IX. СЛАБО ЗБІЖНІ ПОСЛІДОВНОСТІ ЕЛЕМЕНТІВ. § 1. Означення. Умови слабої збіжності послідовностей елементів. Послідовність {хп} елементів простору Е називається слабо збіжною до елемента х ? Е, якщо Ит / (хп) =¦- f {х) для всіх / ? Е, тобто для кожного лінійного функціонала /, означеного в даному просторі Е. Теорема 1. Щоб послідовність {хп} збігалася слабо до х, необхідно і достатньо, щоб одночасно: послідовність {\хп\} була обмежена (1) і Km ф (хп) — <р (х) для всіх <р ? А, де А є мгюжиш, (2) густа в Е. Доведення. Необхідність умови (1) випливає з теореми 6 (розд. V, § 1), ст. 69, а необхідність умови (2) очевидна. Для доведення достатності умови розглянемо будь-який функціонал / ? Е. На основі (2) для кожного числа є > 0 існує такий лінійний функціонал ер ? А, що | <р—/| <<ут7> Де чеРез М позначено верхню грань чисел \хп\ і \х\, яка існує на підставі умови (1). Отже, \f{x — xn)\ < а тому що lim 9 (#п) = 9 (ж)> а є довільне, то виходить, що lim/ (icn) — / (х), тобто, що послідовність {хп) збігається слабо до х. n-foo 8* |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)