Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
116 Розділ IX. Слабо збіжні послідовності елементів Зауваження, Про множину А досить припустити, що лінійні комбінації функціоналів множини А утворюють множину, густу в Е. Теорема 2. Якщо послідовність {хп} збігається слабо до х, то існує така послідовність {дп} лінійних комбінацій елементіє {хп}, що iim gn = х. П->00 Доведення випливає з теореми 6 (розд. IV, § 3), ст. 49, і з означення слабої збіжності послідовності елементів. § 2. Слаба збіжність послідовностей елементів у просторах (С), (L(p)), (c) і Розглянемо тепер слабу збіжність послідовностей елементів в окремих важливіших просторах. Простір (С). Нехай дано загальний вигляд лінійних функціоналів, означених у (С) (див. ст. 50). Щоб послідовність неперервних функцій {#n(0} вбігалася слабо до неперервної фунщії x(t), необхідно і достатньо, щоб і і Mm fxn (t) dg (t) = fx (t) dg (t) (3) П>оо для всіх функцій g (t) обмеженої варіації. З цього виходить, що для того, щоб послідовність функцій {xn(t)}> де xn{t)?{C), збігалася слабо до функції x(t)?(C), необхідно і достатньо, щоб одночасно: функції xn{t), де п = І, 2, . . ., були обмежені в своїй сукупності, (4) Iim Xn (t) = х (t) для всіх і ? [0,1]. (б) Справді, необхідність умови (4) випливає в теореми 1, ст. 115, а умова (5) є висновком такого зауваження: якщо через tQ позначимо довільну точку ироміжка [0,1], то функціонал / (х) = х (t0) є лінійний, звідки Km/ (хп) =/ (х) і, тим самим, Iim хп Ьо) = х (t0). Достатність умови базується на тому, що з умов (4) і (5) випливає рівність (3), для кожної функції g (t) обмеженої варіації (див. Вступ, § 5, ст. 9). На підставі цього, зважаючи на теорему 2, ст. 116, одержуємо таку теорему: |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)