Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 8. Слаба збіжність послідоеностей елементів 117 Якщо послідовність неперервних функцій {xn{t)), де G<?<1, в обмежена і збігається всюди до неперервної функції x(t), то існує послідовність тлінолів, утворених з членів послідовності (#л(0}> яка збігається рівномірно до функції х (і). Це є важлива властивість простору неперервних функцій, якої вже не мають, наприклад, функції першого класу В air є'а. Простір (?(р>), де р > L Послідовність {хп (і)}, де хп (t) збігається слабо до x(t) ? (№>), якщ і і lim fxn (t) a (t) di = fx (t) a (t) dt П>оо для кижноі функції а(г) Як висновок на основі зауваження, ст. 111, одержуємо таку теорему: Щоб послідовність функцій {хп (0}> де хп {і) ? (?(р)), збігалася слабо до функції х (t) ? (і>(р)), необхідно і достатньо, щоб одночасно: послідовність і f\xn{t)\pdt\ була обмежена (6) и lim У хп (t) dt — fx {t) dt для всіх 0 < и < І \ (7) пих> Простір (L). Послідовність {xn{t)} збігаєтеся слабо до xo(t), де Р Щ, х0 ? (L) і 0 < t < 1, якщо Km [хп (t) a {t) dt = fxQ (t) a (t) dt (8) n->oo0 0 для кожної обмеженої функції a (t). Як висновок одержуємо таку теорему: Щоб послідовність функцій {хп (?)}> що належать до (L), збігалася слабо до функції x(t)?(L), необхідно і достатньо, щб виконувались одночасно умо&и: |/| xn(t) \dt\ об, послідовність < І \xn(t)\dt> обмежена, (9) 1 Цю теорему довів F. R і є s z , 1. с, Math. Aim. 69 (1910), ст. 465—466, |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)