Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
118 Розділ IX. Слабо збіжні послідовності елементів для всякого числа є > 0 існує та%е число tj > 0, що для кожної множини Н значень t міри < tj fxn (t)dt < є, де п = 1, 2, ... \ (10) н и lim fxn {t) dt = fx0 (t) dt для 0 <u < 1. (11) n->°°o о Справді, рівність (8) еквівалентна рівності lim f[xn (t) — x0 (t)] a (0 dt = O n->»0 для a(t)?(M). Звідси легко одержати дану теорему з допомогою теореми Lebesgue'a, поданої на ст. 10 (див. Вступ, §6). Простір (с). Щоб послідовність {#„}, де хп = {?"} ? (с), збігалася слабо до елемента х — {^-} ? (с), необхідно і достатньо, щоб одночасно послідовність (| хп [} була обмежена, (12) lim ?f = ?j і lim / lim ?'/\ = lim \v (13) Доведення одержимо безпосередньо з зауваження, що кожний 00 лінійний функціонал (с) має вигляд /(яг) = (7lim \і + %Сі\\, 00 де о: ~ {?*} і |/| = |Cr| + ^|Cf| (див. ст, 56) і, зважаючи на те, що коли покладемо І lim \і для і = О Ег ДЛЯ t > 1, то лінійні комбінації членів послідовності {/і (#)}, де і = 0, 1? 2, .. ., утворюють густу множину в множині всіх лінійних функціоналів, означених у (с). Простори (І(р)), де р > 1. ZZ(oo послідовність {хп}> де хп = = {^f} G (2(р))> збігалася слабо до х = {^-} ^ (?(р))5 необхідно і достатньо, щоб одночасно сю 2^'|?(п) :> \ була обмежена (14) lim ^.n) = lt для всіх і = 1, 2, . . . (15) 1 3 цієї умови (10) виходить умова (9). |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)