Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 2. Слаба збіжність послідовностей елементів 119 Доведення є висновком зауваження на ст. 112. Простір (І). Щоб послідовність {хп}, де хп = {^п)} ? (І), збігалася слабо до х — {?і} ? (І), необхідно і достатньо, щоб lim | хп — х \ = О, тобто Ііт 2 І Йп) — S* І = °- Висновок: J5 просторі (І) слаба збіжність є еквівалентна збіжності за нормою. Доведення. Припустимо, що {#п} збігається слабо до х. Коли покладемо V?0 = ?іп) — &> то послідовність {уп}, де уп == {>з(гП)}, збігається слабо до 0 при п -> оо. Отже, для кожної обмеженої послідовності чисел {с,} маємо: lim JJcflfi1) = 0- (16) i-i f 1 для;=г 1 \ 0 для ?" ^*, Нехай ЗВІДКИ lim v;Jn) = 0 для кожного ; = 1, 2, ... (17) П->00 Треба довести рівність: 00 lim 2i I П-f oo f=l Приймемо навпаки, що 00 Km ^1ЧГ | > ? > 0. (19) П->-00 І=1 Означимо, за допомогою індукції, дві зростаючі послідовності натуральних чисел {%*} і {г^} так: оо 1° пг є таке найменше число п, що ]? | 7)^.n)| > є, 2° гх є таї^е найменше число г9 що ^ і >](*Пі) І > — і ^ І ^)(-Пі) І < —, |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)