Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
120 Розділ IX. Слабо збіжні послідовності елементів 3° пк є таке найменше натуральне число, більше ніж »7с-ь що 00 J*/b — 1 g. задовольняє умови: Д |?}(іПі:)| >є і 2і і >)іПі:) і <Х' 4° гЛ є таке найменше число, більше ніж r^-і, що Так означені послідовності {пк} і {г4} існують на підставі (17) і (19). Нехай тепер = | Sign Y)fl) ДЛЯ 1 < і < Гг Sign 7](ІП*+1) ДЛЯ < 'І < rfc+i. ^ ' Отже, для кожного г = 1, 2, . . . маємо | є* | = 1, звідки на підставі-(16) lim 2 Щі1** = 0. (21) Але на основі (20) маємо: ї - І звідки на основі 3° і 4° Д Щ) 5--? = іо для к = 1, 2, ..., що є неможливе на підставі (21). Отже, маємо рівність (18), що й треба було довести. § 3. Співвідношення між слабою і сильною збіжністю в просторах (LW) і (№) для р > 1. Коли розглядатимемо" співвідношення між слабою збіжністю елементів та їх збіжністю за нормою, то одержимо в просторах (Ир>) і (Z<p>), де р > 1, такі загальніші теореми: Якщо послідовність {хп (?)}> де хп (t) ? (.№>) і р > 1, збігається слабо до х (t) ? (№>) і якщо, крім того, і і lim f\xn(t)\Pdt = f\x{i) \Pdt, то послідовність {xn(tj} збігається за нормою до x[t), тобто і lim f j Хп (t) — х (t) \p dt = O1. 1 Цю теорему довів уперше Radon (Sitemigsberichte d.er Akad. fur Wissensch. in Wien, 122 (1913), Abt. ІІ-а, ст 1296—1438). Див. також F. K і e s z , Acta litt. Ac. Scient. Szeged, 4 (1929), ст. 58—64 і 182—186. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)