Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 4. Слабо повні простори 121 Доведемо аналогічну теорему для просторів (#р)), де р > 1 (випадок р = 1 розглянено в § 2). Якщо послідовність {хп}, де хп — {чіп)} G (^(р)) * V > 1» збігається слабо до х = {?*} ? (Z<p>) г lim ! хп | = | х |, П->ОО то \im\xn — х\ 0. Доведення. На основі (16), ст. 118, маємо: lim ?і П->00 (22) (23) Foe і=1 2" It У Г i 2 І =N (24) де ^ є довільне натуральне число. Але V 2 \l\n)--Zt\p<V Z 2 \Zt\p> звідси на основі умсви (23) та (24) одержуємо І=1 i oo 2\ i=N Тому що lim J* | & |р = 0, а N — довільне, одержуємо рівність (22), ЛГ-*» i=N що й треба було довести. § 4. Слабо повні простори. Якщо в просторі Е типу (В) задано таку послідовність ел-емен- тів {хп}, що для кожного лінійного функціонала f{x), означеного в просторі Е, існує lim/(a;n), то може не бути жодного такого елемента П->-00 х0 ? Е, до якого слабо збігається послідовність {хп}, тобто такого елемента, що lim / (хп) = / (я0) Для всіх лінійних функціоналів Приклад у просторі (С). Нехай {хп(Щ, де 0 < t < 1, така послідовність неперервних і обмежених у своїй сукупності функцій, що |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)