Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
122 Розділ IX. Слабо збіжні послідовності елементів збігається всюди до функції z (t), яка не є неперервна. Тоді існує гра- і ниця lim fxn(t)dg для кожної функції g (t) обмеженої варіації (див. Вступ, §5, ст. 9), проте послідовність {xn{t)} не збігається слабо до жодної неперервної функції. Але все-таки маємо теорему: В просторах (L^) і (І(р)), де р > 1, з існування для довільного лінійного функціонала f границі 1іт/(жп), де {#п} певна послідовність, ви- плиеае слаба збіжність послідовності {хг} до деякого елемента xQ. Доведення для (L). Якщо для кожної функції a (t) ? (М) існує і границя Km fxn(t)a(t)dt, де xn{t) ? (L), то маємо, очевидно, ПУоо 1 lim f[xp(t) — xq(t)] а (і) dt = O для кожного а (t) Покажемо, що для кожного числа є > 0 існує таке число yj > 0 і таке натуральне N, що f\xN(t)—Xn{t)\dt<s (25) н ДЛЯ ВСІХ П > N І ДЛЯ КОЖНОЇ МНОЖИНИ Н МІрИ < 7J. Справді, в супротивному випадку існували б такі дві необмежено зростаючі послідовності натуральних чисел {да} і {^fc} і така послідовність множин {#й}, міра яких збігається до нуля, що J | хРк (t) — хщ {і) | <Й > є, але lim f[xPk (t) — хПк (t)] a (t) dt = O для кожного <х.(і)Є{М), що суперечить теоремі Lebesgue'a (див. Вступ § 6, ст. 9). Тепер для досить малого числа т) маємо зокрема н при п = І, 2, ..., N, звідки на основі (25) J\xn{t)\dt< — z для всіх п = І, 2, . . ., (26) я якщо тільки міра множини Я буде < т). Покладемо (27) П->оо |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)