Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 4. Слабо повні простори 123 Доведемо, що функція (5 (t) є абсолютно неперервна. Справді, для кожного числа є > 0 на основі (26) існує таке число т) > 0, що: У| xn{t) | dt < є для п = 1, 2, ... і для кожної мно- н жини Н міри < т]. Зокрема, якщо В складається із скінченної кількості проміжків з кінцями U і t'u що не налягають один и на одного, то lim fxn (t) dt = lim 2 fxn {t) dt = 2 № (tf) — P (**)]» П->« дг П->-оо І ^ І звідки 2№(t't) — P(*0] < є> що й означає абсолютну неперерв- і вість функції Тепер досить тільки підставити |3' (і) = ж0 (<), щоб на підставі (27) і умов слабої збіжності, встановлених на ст. 111, зробити висковок про те, що сукупність {xn{tj} збігається слабо до xo(t). Доведення для (?(р)), де р > 1. Приймемо, що для кожної функції у {і) Є (lVp1^)) існує lim fxn (t) у (t)dt, де xn{t) Є (?(р)) Д^я будь- 1 якого w = l, 2, ... Функціонали /п(«/)== /хп(t)y{t)dt є, очевидно, о лінійні в \L\p-1'), і тому що за умовою для всіх y(t) ? [іЛр-ч) існує iimfn{y), то функціонал /(у) == lim fn{у) на основі теореми 4 (розд. І, / (_р_\\ § 3), ст. 21, також лінійний в \ZAp-1//. Отже, він маз (див. розд. IV, §4, ст. 62) вигляд: , Де у Є Звідси виходить, що 1 1 / / р \\ Km fxn{t) у {t)dt = fx0(t) у [t)dt для кожного у ? \L\p-1') , nfoo n-foo тобто, що {а?п} збігається слабо до х0, що й треба було довести. Доведення для (І) є аналогічне доведенню теореми, виведеної в § 2, ст. 119—120, і полягає у встановленні збіжності за нормою послідовності {#п} до елемента xQ. Доведення для (Z(p)), де р > 1, є аналогічне доведенню для (№>). |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)